Euklids aksiomer
Euklids geometri er baseret på fem aksiomer (også kaldet postulater), som beskriver grundlæggende egenskaber ved rum, ved brug af punkter og linjer.
De første tre aksiomer er kendt som Euklids første principper, og de siger, at:
1. Der er en unik linje mellem to punkter.
2. Enhver linje kan forlænges uendeligt i begge retninger.
3. Givet en linje og et punkt, der ikke er på linjen, er der (kun) én linje, der kan føres gennem punktet parallelt med den givne linje.
Fjerde og femte aksiom er kendt som Euklids parallelle postulater, og de siger, at:
4. Givet en linje og et punkt, der ikke er på den linje, er der nøjagtig en linje gennem punktet, der er parallel med den givne linje.
5. For enhver trekant er summen af vinklerne lig med 180 grader.
Ved at bruge disse aksiomer som udgangspunkt var Euklid i stand til at udlede et stort antal geometriske sætninger ved hjælp af logisk ræsonnement.
Som du kan se, er Euklids geometri baseret på nogle få enkle, men kraftfulde ideer. På trods af dets enkelhed har dette system fungeret som grundlaget for meget af vores moderne forståelse af rum og geometri.
Euklids fem postulater – grundlaget for geometrien
Euklid, den græske matematiker, opstillede fem grundlæggende udsagn, kaldet postulater eller aksiomer, som danner fundamentet for den geometri, vi kender i dag – euklidisk geometri.
Disse postulater er så grundlæggende, at de antages at være sande uden bevis. De findes i hans berømte værk, Elementerne.
De fem postulater kan kort beskrives således:
Linjens eksistens: Mellem to punkter kan der kun trækkes én lige linje.
Linjens udstrækning: En lige linje kan forlænges uendeligt i begge retninger.
Cirklens eksistens: Der kan tegnes en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst radius.
Alle rette vinkler er lige store: Alle rette vinkler har samme størrelse.
Parallelpostulatet: Givet en linje og et punkt uden for linjen, kan der kun trækkes én linje gennem punktet, som er parallel med den første linje.
Parallelpostulatet – en kilde til debat
Netop det femte postulat, parallelpostulatet, har gennem århundreder været genstand for stor opmærksomhed og debat blandt matematikere. Mange har forsøgt at bevise det ud fra de første fire postulater, men uden held. Det skyldes, at parallelpostulatet i modsætning til de andre postulater virker mindre intuitivt.
Ikke-euklidisk geometri
Forsøgene på at bevise parallelpostulatet førte til opdagelsen af, at der findes andre typer geometrier, hvor parallelpostulatet ikke gælder. Disse kaldes ikke-euklidiske geometrier. Eksempler på sådanne geometrier er hyperbolsk geometri.
Ækvivalente sætninger
Der findes mange sætninger i euklidisk geometri, som er tæt forbundet med parallelpostulatet. Hvis man antager en af disse sætninger som sand, kan man bevise parallelpostulatet, og omvendt. Nogle eksempler på sådanne sætninger er:
- Summen af vinklerne i en trekant er altid 180°.
- Pythagoras' sætning.
Konklusion
Euklids fem postulater har været grundlaget for geometrien i tusinder af år. Selvom parallelpostulatet har været genstand for megen debat, har det vist sig at være et afgørende element i euklidisk geometri. Opdagelsen af ikke-euklidiske geometrier har udvidet vores forståelse af geometri og matematik generelt.
Om Euklids bogsamling "Elementerne"
Forestil dig en verden uden "Elements". En verden hvor matematikken ikke var systematiseret, og hvor geometriske sandheder ikke var bevist med logisk stringens. Det er svært at forestille sig, for Euclids værk har haft en så fundamental indflydelse på vores forståelse af matematikken, at det er blevet selve fundamentet for den vestlige videnskabelige tankegang.
"Elements" er en samling af 13 bøger, skrevet af den græske matematiker Euclid omkring 300 fvt. Vi ved ikke meget om Euclid selv, men hans værk taler for sig selv. Det er en systematisk præsentation af den geometriske viden, som grækerne havde opbygget gennem århundreder.
Bøgerne dækker en bred vifte af emner inden for geometri og talteori.
Hver bog starter med definitioner, aksiomer og postulater, som danner grundlaget for de sætninger og beviser, der følger.
Bog 1 introducerer os til de grundlæggende elementer i plangeometrien, såsom punkter, linjer, vinkler og trekanter.
Her finder vi også beviser for fundamentale sætninger som Pythagoras sætning.
Bog 2 handler om geometrisk algebra, og Bog 3 beskæftiger sig med cirkler.
I Bog 4 lærer vi om indskrevne og omskrevne polygoner, og
Bog 5 introducerer os til læren om proportioner.
Bog 6 anvender denne viden om proportioner på plangeometrien.
Bøgerne 7-9 bevæger sig ind i talteoriens verden.
Bog 10 udforsker irrationelle størrelser.
Bøgerne 11-13 fokuserer på rumgeometri.
Det bemærkelsesværdige ved "Elements" er ikke kun dens omfattende indhold, men også dens logiske struktur og stringente bevisførelse. Euklid starter med et sæt af grundlæggende antagelser, de fem aksiomer, og ud fra disse udleder han alle de andre sætninger i værket. Denne deduktive tilgang har sat standarden for matematisk ræsonnement lige siden.
"Elementerne" har haft en enorm indflydelse på matematikkens udvikling. Den har inspireret utallige matematikere og videnskabsmænd gennem tiderne. Bogen er blevet oversat til utallige sprog og har dannet grundlaget for matematikundervisning i århundreder.
Selv i dag kan vi se spor af Euklids arbejde i den måde, vi tænker og arbejder med matematik på.