Det deliske problem
Det kan være noget af et problem at skulle fordoble en kubes rumfang.
Problemet er kendt som det deliske problem, og er en spændende myte, der strækker sig tilbage til det antikke Grækenland.
Apollos Vrede
Året er ca. 430 f.Kr., og den smukke ø Delos, beliggende i det Ægæiske Hav, er ramt af en frygtelig pest. Øens indbyggere, delianerne, kendt for deres fredelige livsstil og tilbedelse af guden Apollo, er i dyb fortvivlelse. De tror, at pesten er en straf fra Apollo selv.
I deres angst søger de råd hos det berømte orakel i Delfi, Pythia, hvis ord blev anset for at være gudernes stemme. Oraklet meddeler, at for at formilde Apollos vrede og stoppe pesten, skal de fordoble volumenet af hans kubiske alter.
Delianerne, ivrige efter at stoppe pesten, går straks i gang med opgaven. De forsøger først at fordoble længden af hver side af alteret, men opdager hurtigt, at dette resulterer i et alter, der er otte gange større end det oprindelige (2³ = 8). Derefter prøver de at forlænge kun én side, men dette ødelægger kubens form og skaber en rektangulær prisme. Uanset hvad de forsøger, fortsætter pesten, og Apollos vrede synes ikke at aftage.
I desperation henvender delianerne sig til den berømte filosof Platon, der på dette tidspunkt underviste i Athen, kun en dags sejlads fra Delos. Platon, kendt for sin dybe tænkning og matematiske indsigt, og hans elever, herunder den talentfulde Euklid, tager udfordringen op.
De indser, at problemet er langt mere komplekst, end de først antog. De ved, at for at fordoble arealet af en firkant, skal man konstruere en side, der er kvadratroden af 2 gange den oprindelige side. Men at fordoble volumenet af en kube viser sig at være en helt anden udfordring.
De tre klassiske problemer
Problemet med at fordoble kuben bliver hurtigt et af de tre berømte uløste problemer i græsk matematik:
- Kubens fordobling (det deliske problem): Givet en kube, konstruer en ny kube med dobbelt volumen.
- Vinkelens tredeling: Del en given vinkel i tre lige store vinkler.
- Cirklens kvadratur: Konstruer en firkant med samme areal som en given cirkel.
Disse problemer optog de græske matematikere i århundreder. Platon selv mente, at Apollo havde givet dem denne vanskelige opgave for at minde grækerne om vigtigheden af filosofi og matematik, og for at få dem til at stoppe deres krige og fokusere på harmoni og viden.
Et algebraisk umulighedsbevis i det 19. århundrede
Det skulle tage over 2000 år, før problemet med at fordoble kuben blev endeligt "løst". I 1837 beviste den franske matematiker Pierre Wantzel, at det er umuligt at konstruere kubikroden af 2 med de klassiske geometriske værktøjer: lineal og passer. Dette var de samme værktøjer, som Platon og Euklid havde brugt.
Wantzels bevis betød dog ikke, at kubikroden af 2 er umulig at beregne. I dag kan vi nemt beregne den ved hjælp af lommeregnere eller computere. Men det deliske problem handler specifikt om at konstruere denne værdi ved hjælp af lineal og passer, hvilket Wantzel beviste var umuligt.
Historien om det deliske problem er et fascinerende eksempel på, hvordan matematik kan være både udfordrende og inspirerende. Det er en påmindelse om, at selv de største tænkere kan støde på problemer, der kræver århundreders arbejde for at løse.
Fold kubikroden af 2
Vidste du, at man kan konstruere længden ³√2 ved hjælp af origami og Belochs fold, en teknik udviklet af den italienske matematiker Margherita Piazzolla Beloch i 1936. Find ud af hvordan på denne side.: Belochs fold