Belochs fold

Vidste du, at man kan løse komplekse 3. grads ligninger ved blot at folde papir?

 

Den italienske matematiker Margherita Piazzolla Beloch demonstrerede i 1936, at origami kan bruges til at løse tredjegradsligninger. Med en enkelt fold blev origami forvandlet til et overraskende kraftfuldt værktøj inden for geometrisk konstruktion, der overgik de klassiske græske metoder med passer og lineal.

Hvad er Belochs fold?

 

Belochs fold er en specifik origami-foldning, hvor to punkter (P1 og P2) foldes, så de lander præcis på hver sin givne rette linje (r1 og r2) på papiret.

Beloch tog udgangspunkt i Eduard Lills metode

 

Beloch baserede sin metode på Eduard Lills grafiske metode fra 1867 til at finde reelle rødder af ligninger af 3. grad eller højere. Hvor Lills metode primært var til at tjekke kendte løsninger, opdagede Beloch, at hendes papirfoldning faktisk kan finde løsningerne

Parablers fælles tangent viser løsningen

 

Geometrisk set skaber Belochs fold en fælles tangent mellem to parabler, der defineres af punkterne og linjerne i foldningen. Selve foldelinjen er tangent til begge parabler, og rødderne til ligningen kan aflæses i skæringspunkterne mellem denne foldelinje og akserne i et koordinatsystem

Eksempel 1

Konstruktion af Kubikroden af 2

 

For at illustrere, hvordan Belochs fold kan løse et klassisk 3. grads problem, nemlig fordobling af en kube, skal vi først se på selve konstruktionen af kubikroden af 2 (³√2).

 

En omvendt ingeniørkunst

Når vi skal bruge Belochs fold til at finde kubikroden af 2, skal vi placere to punkter (A og B). Det er som at løse en gåde baglæns.

1. Hvad vi vil opnå:

  • Vi vil konstruere et linjestykke med længden ³√2 (løsningen til ligningen x³ = 2) ved hjælp af Belochs foldemetode i origami.

2. Vi udnytter, at Belochs fold skaber ensvinklede trekanter:

  • Ensvinklede trekanter har identiske vinkler og proportionale sidelængder i et konstant forhold. 
  • Da nogle sidelængder i visse trekanter vil være kendte, kan vi beregne afstanden fra (0,0) til Belochs folds skæringspunkt på y-aksen. Denne afstand vil være lig med længden af x.

 

3. Placering af A og B:

Punkterne A og B skal placeres strategisk i et koordinatsystem.

  • Vi skal opfylde ligningen x³ = 2. 
  • For at 1 bliver vores "måleenhed" skal afstanden fra A til (0,0) være 1. Derfor placeres A i (-1, 0).
  • Afstanden fra (0,0) til B skal være 2 for at løse x³ = 2, så B placeres i (0, -2).
  • A og B definerer linjerne (r' og s'), som vi vil folde dem hen på.

Placeringen af A og B er grundlaget for Belochs fold, hvor A foldes til en linje (r') parallel med y-aksen og B til en linje (s') parallel med x-aksen. Disse linjer afhænger af A og B's afstand til akserne. Med præcis placering og Belochs fold dannes ensvinklede trekanter, hvis sideforhold muliggør konstruktionen af linjen med længden ³√2.

1. Brug et koordinatsystem  

 

2. Definér punkter og linjer:

Punkt A placeres i (-1, 0).

Punkt B placeres i (0, -2).

 

3. Konstruer en ny linje r':

Fold langs linje r (y-aksen), spejl punkt A og lav en ny fold vinkelret på x-aksen. Dette skaber linjen x = 1, som er parallel med r.

 

 

 

 

 

 

4. Konstruer en ny linje s':

Fold langs linje s (x-aksen), Spejl punkt B og lav en ny fold vinkelret på y-aksen.

Dette skaber linjen y = 2, som er parallel med s.

 

 

 

 

 

5. Udfør Belochs fold: 

Fold papiret så punkt A når den nye linje r' (x = 1), samtidig med, at punkt B når den nye linje s' (y = 2). Lad os kalde foldelinjen for χ, 

 

6. Find skæringspunkterne: Foldelinjen χ vil skære y-aksen (r) i et punkt vi kalder X, og x-aksen (s) i et punkt vi kalder Y.

 

7. Udnyt ensvinklethed: Trekanterne OAX, OXY og OBY (hvor O er origon, altså punktet (0,0)) - er alle ensvinklede retvinklede trekanter.

 

8. Beregning: Med forholdet |OX| / |OA| = |OY| / |OX| = |OB| / |OY| skal vi prøve at udlede længden af |OX|.

Vi ved, at længden af |OA| er 1 og længden af |OB| er 2. Det kan vi sætte ind i ligningerne:

 

Isolér |OY|

|OX| / 1 = |OY| / |OX|

|OX| = |OY| / |OX|

|OX| * |OX| = |OY|

 

|OX| / 1 = 2 / |OY| 

|OX| * |OY| = 2

 

Vi kan nu udlede, at |OX|² = |OY| og |OX| * |OY| = 2.

 

Isolér |OX|

|OX| = 2 / |OY|

 |OX| = 2 / |OX|²

|OX|² * |OX| = 2

|OX|³ = 2

|OX| = ³√2

 

Konklusion: Længden af linjestykket |OX| er præcis lig med kubikroden af 2 (³√2). Punktet X på y-aksen har derfor koordinaterne (0, ³√2).

Vigtigheden af Belochs Metode

 

Margherita Piazzolla Belochs arbejde revolutionerede matematikken ved at vise, hvordan papirfoldning kunne løse geometriske problemer ud over passerens og linealens grænser. Hvor disse kun løser ligninger op til anden grad, muliggjorde Belochs fold løsning af 3. grads ligninger, hvilket etablerede origami som et vigtigt matematisk redskab.

Trods unøjagtigheder ved papirfoldning var Belochs teoretiske bidrag afgørende for at afsløre geometriens grænser og demonstrere, hvordan origami kan overvinde klassisk geometris begrænsninger.