Tredeling af en vinkel - en geometrisk udfordring

Forestil dig, at du har en vilkårlig vinkel, som du vil dele i tre lige store dele. Det er heldigvis ikke så svært med lommeregner og vinkelmåler. Men måtte vi kun bruge passer og lineal, ville det være en særdeles svær udfordring.

En sjov metode er, at folde sig frem til løsningen - det er måske den hurtigste og nemmeste.

Spring historien over, og gå direkte til instruktionen her. 

 

En kompliceret sag

Tredeling af en vilkårlig vinkel med kun passer og lineal er en klassisk geometrisk udfordring, der har vist sig at være umulig for de fleste vinkler. Problemet går tilbage til det antikke Grækenland, hvor matematikere som Euklid og Archimedes arbejdede ud fra strenge regler for brug af disse værktøjer. I 1800-tallet beviste Pierre Wantzel, at tredelingen af en vilkårlig vinkel kræver løsningen af en tredjegradsligning. Da dette ligger uden for, hvad passer og lineal kan opnå, er det umuligt for flertallet af vinkler. Kun visse specifikke vinkler kan tredeles efter reglerne for klassisk geometri.

 

Tre typiske konstruktioner med passer og lineal:

  • Du kan trække en lige linje mellem to punkter.
  • Du kan tegne en cirkel med et bestemt centrum og en bestemt radius.
  • Du kan finde skæringspunkterne mellem linjer og cirkler.

Man kan eksperimentere med passeren, men man vil opdage, at de fleste vinkler ikke kan konstrueres præcist med disse redskaber. At tredele en vinkel svarer til at løse en kubisk ligning, som kræver mere avancerede matematiske værktøjer. Klassiske konstruktioner arbejder kun med algebraiske tal, som kan udtrykkes ved addition, subtraktion, multiplikation, division og kvadratrødder. Tredeling kræver kubikrødder, som ligger uden for disse værktøjers kapacitet.

 

Ligesom at lave en avanceret LEGO-model med få klodser – det er ikke muligt for de fleste modeller.

Kun nogle vinkler, som en ret vinkel på 90 grader, kan nemt tredeles i tre vinkler på 30 grader. For de fleste andre vinkler er tredelingen umulig, hvis kun lineal og passer bruges.

Det er tankevækkende, at noget så simpelt som at dele en vinkel i tre kan være umuligt med klassiske geometriske værktøjer. Det viser, hvordan matematik kan afsløre overraskende og dybe indsigter.

En historisk nysgerrighed: Mange har forsøgt at omgå reglerne med nye redskaber, som markerede linealer eller specialdesignede værktøjer. Disse metoder rejser interessante spørgsmål om grænser og kreativitet i matematik.

Fold en vinkel-tredeling

At origami kan løse problemet med at tredele en vilkårlig vinkel, er både en overraskende og genial opdagelse. 
Her kan du lære hvordan:

Klik på billedet for at forstørre

 

  1. Placer din vinkel θ i det nederste venstre hjørne af firkanten, som vist. Fold en tilfældig vinkel.
  2. Foldelinjen L2: Lav en vandret fold (et godt stykke op af papiret) parallelt med den nederste kant. 
  3. Foldelinjen L1: Fold derefter den nederste kant op til forrige folderlinje, .
  4. L2 kan laves i enhver højde, (hvis din vinkel θ er mindre end 45◦ så skal første fold måske være tættere på den nederste kant af papiret for at det næste trin er muligt).
  5. Punkterne P1 og P2: Kald nederste venstre hjørne for P1 og (venstre sides) start af foldelinjen L2 for P2.
  6. Fold derefter nederste venstre hjørne op, så hjørnet P1 rammer L1, og P2 rammer L2.
  7. Tryk papiret fladt så der dannes en ny foldelinje.
  8. Du kan nu se L1 på bagsiden af denne fold pege skråt opad.
    Fortsæt denne fold skråt op gennem resten af papiret for at folde linjen L3.
  9. Fold ud og færdigør folden L3– den vil ramme hjørnet P1.
  10. Fold derefter kvadratets nederste kant op til L3 for at halverer vinklen.

Vinklen θ er nu blevet delt i tre lige store dele.

 

Bevis for tredeling af en vinkel ved hjælp af origami

På billedet er vinklen mellem den blå linje og den nederste kant den vinkel, der skal tredeles, og vi skal vise, at α = β = γ. 

Den røde linje er folden som følge af foldningen i trin 4 af foldeprocessen. 

Se nu på trekanten EBb. Vi ved, at længden af linjestykket EG er lig med længden af linjestykket GB, og vi ved også, at linjestykket Gb, som er højden af trekanten EBb, møder linjestykket EB i en ret vinkel. 

Med andre ord halverer højden Gb af trekanten den modstående side. Dette betyder, at trekanten EBb er ligebenet. 

Spejlbilledet af trekanten EBb ved spejling i den røde foldelinje er trekanten ebB, som derfor også er ligebenet. 

Højden af trekanten ebB, der udgår fra punktet B, halverer derfor den del af vinkel B, som hører til trekanten.

Dette viser, at vinkel α = vinkel β. 

Ved spejlsymmetri har vi, at β er lig med vinklen δ af trekanten GbB. 

Og da linjen GH er parallel med den nederste kant BC, har vi, at γ = δ. 

Dette beviser, at vinkel β = vinkel γ.

 

En anden metode bruger et værktøj kaldet en markeret lineal. Det er en lineal med et mærke på, der gør det muligt at foretage mere avancerede konstruktioner.