4 måder at tredele et papir på.
Der er flere måder at dele et papir i tre lige dele. Her får du fire fyldt med matematik!
De krydsende stiger
Den nemme metode
Haga's metode
Noma's metode
Bemærk, at alle metoder og beviser til udgangspunkt i et kvadratisk papir.
De krydsende stiger
Metoden har ukendt oprindelse, men er blandt de bedste, da den er hurtig og nem at huske. Lignende opgaver med samme matematik, kaldes somme tider krydsende stiger, så det hedder den også her.
1. Folde papiret diagonalt fra det øverste venstre hjørne ned til nederste højre hjørne.
Fold ud igen.
2. Fold nederste kant op til øverste kant, så du deler papiret vandret på midten.
Fold ud igen.
3. Fold nu diagonalt fra venstre sides midtpunkt til nederste højre hjørne.
Fold ud igen.
Der, hvor de to foldninger krydser hinanden, det vigtige punkt. Dette punkt markerer en tredjedel (⅓) af papiret.
4. Fold en vandret linje, der går gennem de to diagonalers skæringspunkt. Sørg for, at linjen står vinkelret på både venstre og højre kant af papiret. Fold ud igen.
Nu har du en vandret foldning, der deler papiret i ⅓ og ⅔. For at få tre lige store dele skal du nu folde den øverste del der er ⅔, ned til den forrige foldelinje.
Derved får du tre lige store dele.
Hvorfor virker det?
- Vores foldemønster danner flere ensvinklede trekanter.
- Den blå og den mindre grønne trekant er ensvinklede.
- Også den gule og den mindre gule på næste billede er ensvinklede.
- Læg mærke til at højden b er begge de små trekanters højde.
Sidelængden på det oprindelige kvadrat kan vi kalde for a.
I den lille grønne trekant kalder vi de to sider for c og b. I den anden trekant (markeret med blå linjer) kalder vi siderne a og a/2.
På den gule del har vi en stor trekant med to sidelængder der begge har længden a.
Vi har også en lille gul trekanten med sidelængderne b og (a - c).
For trekanter der er ensvinklede gælder følgende sætning:
Forholdet mellem to af siderne i den ene trekant, er det samme som forholdet mellem de tilsvarende sider i den anden trekant.
Bevis
Vi skulle gerne bevise, at den lodrette fold fra bundlinjen og op til diagonalernes skæringspunkt inddeler papiret med en længde på a/3.
Først kan vi skrive begge forhold op, og reducere ligningerne:
c/b = a/(a/2)
c/b = 2
c = 2b
a/a = b/(a - c)
1 = b / (a - c)
Nu kan vi sætte værdien for c ind i den anden ligning. Da får vi:
1 = b / (a-2b)
Vi kan gange med (a - 2b) på begge sider for at fjerne det fra højre side:
a - 2b = b
Læg 2b til på begge sider for at isolere a
For at isolere b kan vi dividere med 3 på beggesider :
Hermed har vi bevist, at b = a/3
a = 3b
b = a/3
En meget nem metode
Der er mange måder at dele et ark papir på, nogle metoder er nemmere end andre. Her er en meget nem metode til at opdele papir i en hvilken som helst fraktion. Alt man skal bruge er bare en "skabelon", som kan være et foldet papir, et linjeret papir eller en lineal.
1) Tag et ark papir, der er større end det ark, du vil bruge. Fold det i nemme lige lange segmenter, så som fx 4.-dele.
2) Læg dit papir ovenpå skabelonen.
3) Vinkel dit papir, så de to hjørner spænder over det antal delinger, du ønsker.
Hvis du vil folde dit ark i tredjedele, skal du vinkle papiret, så det strækker sig over 3 eller 6 segmenter af skabelonen.
4) Tegn en lille streg (eller lav en lille fold) på det sted, hvor folderne skal være.
Tredel et papir med Haga's metode
Kazuo Hagas metode er en smart origami-teknik til at 3-dele et papir.
Den bruger en enkelt diagonal fold op til midten af papiret.
Husk, at binære folder er de nemme folder, hvor man folder halve, fjerdedele, ottendele, osv.
Hvis du folder nederste venstre hjørne op til toppen af papiret, som vist på tegningen dannes der en særlig forbindelse mellem længderne x og z.
Hvordan fungerer det?
Lad os starte med at folde nederste venstre hjørne op til toppen af kvardratets midtpunkt.
Der dannes herved to trekanter i toppen.
Lad kvadratet have sidelængden 1.
x betegner den ene katete på øverste kant i den venstre trekant, som må være lig med 1/2.
Den anden katete kan vi kalde for y. Hypotenusen bliver da 1 - y.
I den anden trekant ved vi, at øverste kant er halvdelen af papiret, altså 1/2.
Længden der skal bruges ved 3-deling: Kateten på højre side er den vigtige. Det er længden fra hjørnet til det punkt, hvor de to lag papir skærer hinden. Den kalder vi for z.
Med Pythagoras kan vi nu omskrive den venstre trekant:
y2 + x2 = (1-y)2
y2 + (1/2)2 = (1-y)2
y2 + 1/4 = 1 - 2y + y2
2y = 1 - 1/4
2y = 3/4
y = 3/8
Ensvinklede trekanter:
Da trekanterne er ensvinklede gælder følgende sætning:
z/(1/2) = x/y
Vi kender nu rigeligt til at vi kan finde z.
z = (x/y) ⋅ (1/2)
z = ((1/2) / (3/8)) ⋅ (1/2)
Z = 2/3
Herved kan vi se, at længden z er 2/3 af kvadratets længde.
Hvis vi halverer z ved at folde papiret, har vi delt det i 1/3.
Masamichi Noma's metode
Nomas metode adskiller sig ved, at man her kan nøjes med at lave små knibemærker langs kanten af papiret. Og så virker metoden på alle brøkdele.
Ligegyldigt hvilken brøkdel du vil inddele papiret i, kan du lave mærkerne som en binære fold. (Binære folder dannes når du folder et papir i to, fire, otte osv.).
Metoden overordnet set:
1) Lav et foldemærke på venstre side.
2) Lat et foldemærke på øverste kant.
3) Fold så "Normas fold" ved at føre venstre kants mærke op til øverste kants mærke.
4) lav en ny lille fold hvor den nye foldelinje skærer venstre sides kant.
Dette punkt markerer den ønskede fold.
Der skal dog først defineres et par ting først:
Definition af variabler:
Vi skal finde udsagn for a, b og p. Det er ikke så kompliceret, som det kan se ud:
1) Hvis vi vil dele i en 1/3, så er a/b = 1/3
2) p skal være den største eksponent af 2, som er mindre end b. (Se billedet).
Da b = 3, må vi gå med 21 = 2 og sætte p til 2.
Med a, b og p defineret er vi klar: (a = 1), (b = 3), (p = 2)
2n
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
3-deling med Nomas metode:
1) Find a/b. Hvis man vil finde 1/3, sætter vi a = 1 og b = 3.
2) Find den største 2-potens, der er mindre end b.
Vi kalder dette tal p. Den største 2-potens mindre end 3 er 2, så p = 2.
3) Lav brøken b/2p.
Lav et lille fold på papiret i brøkens længde af papiret på venstre kant (nedad fra øverste hjørne) og på øverste kant (mod venstre fra højre hjørne). I vores eksempel er b/2p = 3/(2⋅2), altså 3/4.
4) Fold punkterne sammen. Fold punktet på venstre kant op til punktet på øverste kant. Markér det sted på venstre side, hvor foldelinjen rammer.
Den nye fold rammer venstre side i en afstand der er p/b opad fra bunden. p/b bliver lig 2/3
5) Find a/p af den nye afstand. Vi ved, at a/p = 1/2, så vi skal altså halvere den nye afstand. Det svarer til at vi skal dele 2/3.
6) Marker det sidste punkt. Dette punkt viser afstanden a/b på papirets side. Altså vores ønskede resultat = 1/3
Bevis med Pythagoras læresætning:
Læg mærke til hvordan venstre sides længde på 3/4 kan opdeles i længderne x og 3/4 - x.
Længden 3/4 - x er nu foldet op til øverste kant og fungerer som hypotenusen i en retvinklet trekant. Herved kan vi finde længden x med Pythagoras.
Pytagoras sætning:
Udregn venstre og højre side hver for sig:
Ryk 1/16 over på højre side:
- 6/4 x rykkes over på venstre side. x2 forsvinder fra begge sider. :
Reducer højre side:
Gang med 4 på begge sider:
Divider med 6 på begge sider. Derved er x fundet
x2 + (1/4)2 = (3/4 - x)2
x2 + 1/16 = 9/16 - 6/4 x + x2
x2 = 9/16 - 1/16 - 6/4 x + x2
6/4 x = 8/16
6/4 x = 1/2
6x = 2
x= 1/3
Da Nomas metode fungerer på alle brøkdele, kan vi tage et andet eksempel:
Eksempel: Del i 5.-dele
Vi skal dele et papir i 5.-dele, så er a/b = 1/5
1) Find den største 2'er-potens:
Da nævneren er 5, skal vi derfor bruge tallet 4. (22 = 4). Vi kalder dette tal "p", så p = 4.
Lav de første brøker: Lav to mærker på kanterne, der viser brøken b/2p = 5/8
Lav Noma-folden: Fold de to mærker sammen. Folden laver et nyt mærke på kanten.
Lav den sidste brøk: Lav et mærke, der viser brøken a/p i forhold til det nye mærke. a/p = 1/4
Bevis med Pythagoras
For at bevise, at punkt x er 1/5 af papirets længde bruger vi igen Pythagoras.
Bemærk, at vi satte et mærke 5/8 fra toppen på venstre kant. Trækker vi x fra denne længde har vi: (5/8) - x. Denne længde er foldet op for at møde punktet på toppen, og bliver nu hypotenusen i en retvinklet trekant øverst i venstre hjørne. De to kateter er henholdsvis x og 3/8. Med Pytagoras kan vi nu finde x:
Pytagoras sætning:
Udregn venstre og højre side hver for sig:
Ryk 9/64 over på højre side:
x2 forsvinder fra begge sider. Ryk 5/4 x over på venstre side:
Reducer højre side:
Gang med 4 på begge sider:
Divider med 5 på begge sider. Derved er x fundet
x2 + (3/8)2 = (5/8 - x)2
x2 + 9/64 = 25/64 - 5/4 x + x2
x2 = 25/64 - 9/64 - 5/4 x + x2
5/4 x = 16/64
5/4 x = 1/4
5x = 1
x = 1/5
Fordele ved Nomas metode
- Ingen grimme midterfold: Du undgår den klassiske fold henover midten af papiret. Dette er særligt fordelagtigt ved mange origami-modeller, da det eliminerer unødvendige foldelinjer og resulterer i et langt mere æstetisk og rent design.
- Mulighed for alle brøkopdelinger: Nomas metode gør det nemt og præcist at udføre enhver form for brøkdeling.