1. Introduktion: Origami - En Port til Matematikken

2. Origamiens Historie: Fra Tradition til Matematisk Viden

3. Det Matematiske Grundlag: Origamiens Aksiomer og Geometriske Konstruktioner

4. Fladfoldning: Matematiske Betingelser og Teoremer

5. Matematiske Konstruktioner i Praksis: Mere end Bare Figurer

6. Sproglig Opmærksomhed Gennem Origami med Cirkler

7. Fold og Klip Sætningen: Matematisk Magi i Papir

8. Avancerede Matematiske Anvendelser

9. Konklusion: Origami - En Foldbar Vej til Matematisk Forståelse

 

 

 

 

Formålet med oplæget:

 

Mere end en hobby

Der gemmer sig meget matematik i papirfoldning, som de fleste måske ikke lige går og tænker på.

Det indeholder en præcision, mønstre og regler, dybt forankret i matematik.

At beskæftige sig med origami

Intuitiv og praktisk tilgang til matematik, der rækker ud over selve geometri-området. 

Kan virke motiverende, håndgribeligt og lette at visualisere.

Styrke begrebsforståelsen af geometriske principper med taktile og visuelle repræsentationer af punkter, linjer, vinkler og former.

En anden måde at forholde sig til geometri med symmetri, transformationer og funktioner.

Indgang til abstrakt matematik

Problemløsning, der introducerer mere  avancerede matematiske emner som algebra, optimering og funktioner.

Fx foldning af en parabel 

En anden måde at forholde sig til geometri med symmetri, transformationer og funktioner.

 

 

Origamiens historie.

 

• Selvom papiret stammer fra Kina, udviklede origami sig i Japan, hvor det tidligt blev brugt i religiøse ceremonier.
• Noget af det tidligste: Et japansk digt fra 1680 nævner origami-sommerfugle ved bryllupper. Traditionelt pyntede man flasker med papirfugle.
• Der har dog også eksisteret europæiske traditioner for papirfoldning. Europæisk origami har ofte flere lige linjer i sine foldebaser. Figurer som vandbomben og vindmøllen menes at have europæisk oprindelse.
• Friedrich Fröbel integrerede i 1837 papirfoldning i børnehaver som en introduktion til geometri.

 

• Mens mange ser origami som en hobby, er moderne origami meget mere end traditionelle figurer.
• Det betragtes i dag som et matematisk puslespil. 
• Man har simpelthen synes, at det er lige så spændende at folde papiret ud, for at finde ud af hvordan man gør. Det har ført til, opdagelsen at origami kan mere end de gamle grækere kunne med lineal og passer.
• Margherita P. Beloch, som i 1936 viste, at origami kan løse tredjegradsligninger, også anerkendt det matematiske potentiale i origami. 
• Robert J. Lang har med sit arbejde, blandt andet bogen fra 2003, fremhævet de matematiske aspekter af origami.
• Forskere som Erik D. Demaine, der startede sin karriere ved MIT i 2001, har også bidraget væsentligt til at udforske de teoretiske sider af origami, kendt som "computational origami. Demaine: "Alt kan foldes. Polygoner der består af lige linjer kan endda foldes, så du kan klippe dem ud med kun en lige linje.

 

• Vi billeder af hvor origami anvendes i industrien

Origamiens Aksiomer

 

• De mest grundlæggende foldeteknikker kalder man for Origamiens aksiomer: Det er fundamentet for alt papirfoldning.
• Præsenter aksiomerne. Præsenter også Bjerg og dalfoldning.
• Vis hvordan enkle origami-foldninger kan bruges til at skabe essentielle geometriske elementer som linjer, vinkler, parallelle og vinkelrette linjer, samt midtnormaler med præcision og elegance.

 

Titel: De Matematiske Rødder i Origami

Introduktion

• Origami er langt mere end en kreativ hobby; det har dybe og fascinerende rødder i matematikken.
• De handlinger, der udføres ved papirfoldning, kan betragtes som geometriske konstruktioner.

1. Grundlæggende Geometriske Konstruktioner i Origami

• Simple foldninger muliggør grundlæggende geometriske konstruktioner.
• Linjer og vinkler: Selv ved simple fold kan man skabe præcise linjer og vinkler.
• Midtnormal: Foldning af en kant på sig selv definerer en midtnormal.
• Vinkelhalvering: Et vinkelben foldes over det andet, så folden halverer vinklen præcist.
• Disse basale konstruktioner er fundamentet for mere komplekse origami-modeller.
• Dette viser, at geometriske principper er en integreret del af papirfoldning.

2. Origamis Aksiomer: Det Matematiske Grundlag

• For at formalisere origamiens matematiske regler introduceres origamis aksiomer.
• Disse aksiomer beskriver de grundlæggende folderegler og har matematiske implikationer.
• Huzitas aksiomer: Et kendt sæt, der præcist definerer de syv grundlæggende fold, der er mulige med et stykke papir.
• Aksiomerne fastlægger de geometriske konstruktionsmuligheder i origami.
• Dette adskiller origami-konstruktioner fra dem, der kan udføres med passer og lineal.
• Bemærkelsesværdigt er det, at origami kan løse visse geometriske problemer, som er umulige alene med passer og lineal (f.eks. vinkeltredeling og fordobling af kubussen).

3. Origami som Visualiseringsværktøj i Matematik

• Origami er et kraftfuldt redskab til at visualisere abstrakte matematiske begreber.
• Gennem praktisk foldning bliver abstrakte ideer håndgribelige.
• Brøker: Gentagne halveringer illustrerer tydeligt brøker (halvdele, fjerdedele, ottendedele osv.).
• Geometriske former: Konstruktion af trekanter og firkanter hjælper med at forstå deres egenskaber og klassifikation.
• Symmetri og transformationer: Spejling, rotation, translation og glidespejling kan anskueliggøres gennem foldede figurer og mønstre.
• Pythagoras' læresætning: Kan også visualiseres gennem specifikke origami-foldninger.

4. "Learning Mathematics with Origami" i Undervisningen

• Bogen "Learning Mathematics with Origami" er en værdifuld ressource til integration af origami i matematikundervisningen.
• Den indeholder praktiske opgaver designet til at understøtte læring af forskellige matematiske emner.
• Geometriske grundsten: Elever udforsker punkter, linjer og vinkler aktivt ved at folde.
• Symmetri og mønstre: Aktiviteter hjælper med at genkende og skabe symmetriske figurer og tessellationer.
• Fraktioner og forhold: Giver en visuel og konkret forståelse af brøker.
• Algebraiske begreber: Kan introduceres gennem udfordrende foldninger.
• Rumgeometri: Modulær origami bruges til at bygge rumlige figurer og visualisere rumgeometri.
• Ved at vælge passende opgaver kan bogen være et motiverende og engagerende værktøj i matematikundervisningen.

Konklusion

• Gennem disse aspekter demonstrerer origami, at matematik ikke kun er abstrakt.
• Matematik er tæt forbundet med den fysiske verden og kan udforskes på en kreativ og håndgribelig måde gennem origami.

 

Fladfoldning:

 

Maekawa-Justin Teoremet

• Fold og tæl bjerg/dal: Nævn kort relationen mellem bjerg- og dalfolder ved fladfoldning.

Kawasaki-Justin Teoremet:

• Vinkelerne rundt et knudepunkt

Big-Little-Big Angle (BLBA) Teoremet:

• BLB (Big-Little-Big Lemma): Kort introduktion af BLB-lemmaet.

 

 

Fladfoldning i Origami: Matematiske Betingelser

Fladfoldning er et centralt koncept inden for origami. Det indebærer, at en papirmodel foldes sammen, så den til sidst ligger helt fladt uden overlapninger i papiret. For at en vertex (et knudepunkt, hvor flere folder mødes) kan fladfoldes, skal visse matematiske betingelser være opfyldt.

1. Maekawa-Justin Teoremet: Forholdet mellem Bjerg- og Dalfolder

• Dette teorem beskriver en fundamental relation mellem antallet af bjergfolder (M) og dalfolder (V), der mødes i en fladfoldet vertex.
• Teoremet fastslår, at differencen mellem antallet af bjerg- og dalfolder altid skal være 2:
  • M=V+2
  • eller
  • V=M+2
• Dette er en nødvendig betingelse for, at en vertex kan fladfoldes. Det betyder, at enhver fladfoldet vertex nødvendigvis overholder denne regel.
• Tabel 4.1 (fra den oprindelige kilde) viser eksempler, der overholder denne regel.

2. Kawasaki-Justin Teoremet: Vinklerne Omkring et Knudepunkt

• Dette teorem omhandler vinklerne (θ1​,θ2​,...,θn​) omkring en vertex i et fladt foldemønster.
• Summen af de alternerende vinkler omkring vertexet skal være lig med 180°. (Den præcise formulering er ikke givet i uddragene).
• Sammen med Maekawa-Justin Teoremet udgør dette teorem en del af betingelserne for fladfoldning af en enkelt vertex.
• Kawasaki-Justin Teoremet kan bruges til at vurdere, om et givent foldemønster omkring en enkelt vertex potentielt kan foldes fladt.
• Det er vigtigt at bemærke, at selvom Kawasaki-Justin Teoremet er opfyldt, garanterer det ikke nødvendigvis, at en given bjerg/dal-tildeling vil resultere i en flad foldning.

3. Big-Little-Big Angle (BLBA) Teoremet (også kendt som Big-Little-Big Lemma)

• Dette princip vedrører forholdet mellem på hinanden følgende vinkler omkring en vertex og deres tilhørende bjerg- og dalfolder.

  • BLB (Big-Little-Big Lemma):
    • Hvis en vinkel (αi​) er mindre end de to vinkler, der ligger umiddelbart ved siden af den (αi−1​ og αi+1​), så skal foldene, der afgrænser den mindre vinkel, have forskellige bjerg/dal-tildelinger.
    • Hvis den mindre vinkel var afgrænset af folder med samme tildeling, ville det tvinge papiret til at overlappe sig selv under fladfoldning.

 

Matematiske Konstruktioner

Matematiske konstruktioner begynder med foldelinjer – opskriften på at skabe noget helt særligt. Det er ofte her, især børn, oplever magien i at skabe noget fra bunden. At forvandle en flad 2D-overflade til en imponerende 3D-form på en kreativ og tilfredsstillende måde.

Eksempler på spændende foldeteknikker:

• Vis, hvordan en cirkel kan passere gennem en lille firkant.
• Demonstrér twist-fold (den skiftende farve-effekt).
• Præsentér Miura-folden.

Vi kan nemt konstruere binære foldninger og bruge det som en anledning til at introducere brøker for eleverne.

Men hvad gør vi, hvis vi ønsker at dele papiret i tre eller fem dele?

• Demonstrér: Sådan tredeles en side præcist. Vis kort udregning af bevis. 
• Samarbejd om at femdele en papirstrimmel.

 

Sproglig opmærksomhed

• Fold figurer - øvelse
• Fold tetraeder fra cirkel: Nævn, at det er muligt at folde rumlige figurer som et tetraeder fra en cirkel, selvom det kan være en mere avanceret teknik [vores samtalehistorie].
• Fælles øvelse - fold en cirkel til en tetraeder-stub. Hvad ser vi her leg.

Sproglig Opmærksomhed i Origami med Cirkler: Fokus på Matematiske Begreber

Denne øvelse tager udgangspunkt i et simpelt stykke papir, formet som en cirkel.

Trin 1: Find Cirklens Centrum

For at starte skal vi lokalisere cirklens centrum. Dette gøres ved at folde cirklen i to identiske dele. Den resulterende foldelinje er en diameter. En diameter passerer altid gennem centrum. Ved at folde cirklen endnu en gang, så den nye foldelinje skærer den første, vil skæringspunktet mellem de to diametre præcist markere cirklens centrum. Linjestykket, der strækker sig fra centrum til cirklens periferi (kanten), kaldes en radius.

• Alternativ metode til at finde et omtrentligt centrum: Lav et lille knib, hvor du anslår centrum er. Gentag dette knib fra en anden retning. Krydset af de to knib vil indikere det omtrentlige centrum.

Trin 2: Fold Cirkelbuen ind mod Centrum

Tag nu cirkelbuen (kanten af cirklen) og fold den ind mod det markerede centrum, så der dannes et tydeligt fold. Det område af cirklen, der er afgrænset af cirkelbuen og foldelinjen, udgør et segment, og selve foldelinjen er en korde. (Bemærk: Disse terminologier bliver mere relevante på mellemtrinnet og i gymnasiet).

Trin 3: Gentagne Foldninger og Dannelsen af en Ligebenet Trekant

Gentag foldningen ved at tage en ny del af cirkelbuen og folde den ind til centrum. Fold ovenpå det tidligere dannede segment, men undgå at folde selve segmentet om. Fortsæt med flere foldninger, hvor hver ny del af cirkelbuen føres ind til centrum. Ideelt set skal de dannede segmenter ikke overlappe hinanden.

Efter cirka tre foldninger vil du observere, at der i midten af figuren er dannet en form. Denne form er en ligesidet trekant. En ligesidet trekant karakteriseres ved, at alle tre sider har samme længde.

Trin 4: Find Midtpunkterne på Trekantens Sider

Find nu midten af hver af de tre sider i den ligesidede trekant. Dette gøres ved at lade to af trekantens vinkelspidser (også kaldet vertices) berøre hinanden uden at folde hele vejen. Dette markerer midtpunktet på den side, der ligger imellem de to berørende vinkelspidser. Gentag denne proces for alle tre sider af trekanten.

Trin 5: Fold Vinkelspidserne ind mod Midtpunkterne og Dannelsen af en Trapez

Tag en af trekantens vinkelspidser og fold den ind, så den berører midtpunktet på den modsatte side. På dette stadie vil du kunne identificere en trapez. En trapez er en firkant med mindst ét par parallelle sider. Vi kan nu referere til trapezens ikke-parallelle sider som ben og de parallelle sider som baser.

Trin 6: Dannelsen af en Rhombus

Fold endnu en vinkelspids ind til midpunktet på den modsatte side, ovenpå den første foldning. Nu dannes en rhombus. En rhombus er en firkant, hvor alle fire sider har samme længde, og de modsatte sider er parallelle.

Trin 7: Dannelsen af en Mindre Ligebenet Trekant og Seks Små Trekanter

Til sidst folder du den tredje vinkelspids ind til midtpunktet på den modsatte side. Nu fremkommer en mindre ligesidet trekant i midten af figuren. Denne mindre trekant er similær (proportional i størrelse og vinkler) med den oprindelige ligesidede trekant. Ved at betragte alle foldelinjerne kan vi konstatere, at der er dannet seks små trekanter i alt.

Trin 8: Fra Flad Cirkel til en Rumlig Figur

Nu sker der en interessant transformation: figuren begynder at "poppe op". De foldede trapezer danner sider, og de modsatte sider er trekanter. Denne resulterende rumlige figur er en afkortet tetraeder (truncated tetrahedron). Det er fascinerende at observere, hvordan vi ved hjælp af foldning er gået fra en flad cirkel til en tredimensionel (3D) form.

• Det er også muligt at folde en hel tetraeder fra en cirkel, selvom dette typisk er en mere avanceret origami teknik.

Fokus på Matematisk Sprog i Undervisningen

Gennem hele denne origamiøvelse er det essentielt for undervisere at fremhæve de matematiske termer, der naturligt opstår. Ved at opfordre eleverne til at beskrive deres observationer og undren undervejs, kan man facilitere en dialog, der styrker deres matematiske sproglige opmærksomhed. Lærere bør aktivt opfordre eleverne til at anvende de korrekte matematiske betegnelser for de forskellige dele af cirklen (centrum, radius, diameter, cirkelbue, korde, segment) og de geometriske former (trekant, ligesidet trekant, firkant, trapez, rhombus) der dannes under foldningen. Origami fungerer som en konkret metode til at gøre geometri håndgribelig og hjælper med at visualisere abstrakte begreber som sider, vinkler og arealer.

 

 

Fold og Klip Sætningen (The Fold and Cut Theorem): En Matematisk Forundring

Har I nogensinde reflekteret over de geometriske former, der kan frembringes ved et enkelt, lige klip i et foldet stykke papir? Ved første øjekast kan det virke simpelt. Men forestil jer nu, at ethvert design bestående af lige linjer, tegnet på et stykke papir, kan realiseres ved at folde papiret strategisk og udføre ét enkelt, fuldt gennemgående, lige klip! Utroligt, men sandt!

Dette bemærkelsesværdige resultat er formaliseret og bevist af matematikere, herunder den dengang kun 17-årige Erik Demaine. Essensen af sætningen er, at for ethvert mønster udelukkende bestående af lige linjer på et stykke papir, eksisterer der en måde at folde papiret fladt på, så et enkelt lige klip gennem alle lagene præcist vil resultere i det ønskede mønster.

Denne dybe matematiske sandhed, der er indlejret i den tilsyneladende simple handling at folde og klippe, er intet mindre end forbløffende. Selvom det formelle bevis for sætningen er af avanceret karakter, kan vi sagtens udforske ideen og opleve noget af dens magi ved praktisk eksperimenteren.

Lad os eksperimentere!

Tag et stykke papir. Vores mål er at klippe en simpel geometrisk form, eksempelvis en femtakket stjerne, med kun ét klip.

En udfordring til udforskning:

1. Start med et kvadratisk stykke papir.
2. Undersøg, hvordan gentagne foldninger af papiret kan positionere alle "takkene" af stjernen, så de kan frigøres ved et enkelt klip.
3. Udfør forskellige foldninger og observer de resulterende geometriske strukturer. Notér eventuelle mønstre eller relationer, du opdager.
4. Når du har en hypotese om den korrekte foldeteknik, udfør ét enkelt, lige klip, der penetrerer alle lagene af papiret.
5. Fold papiret forsigtigt ud. Identificer den fremkomne form. Lykkedes det at skabe en femtakket stjerne?

Matematiske indsigter fra eksperimentet:

Selvom det kan være udfordrende at opnå en perfekt femtakket stjerne ved første forsøg, er selve processen rig på læring:

• Du vil sandsynligvis bemærke en sammenhæng mellem antallet af folder og antallet af "takter" eller hjørner, der kan klippes ud. Konstruktionen af en femtakket stjerne involverer typisk ti folder, der udgår fra et centralt punkt.
• Eksperimentet understreger vigtigheden af præcision i udførelsen af foldningerne.
• Du vil opdage, at vinklen på det afgørende klip er bestemmende for den endelige geometriske form.
• Selvom den intuitive tilgang måske ikke umiddelbart afslører den korrekte foldeteknik, bekræfter Fold og Klip Sætningen eksistensen af en sådan foldeteknik, uanset kompleksiteten af det ønskede lige linje-design.

Det er fascinerende, hvordan et så håndgribeligt materiale som papir og en simpel handling som foldning er dybt forbundet med fundamentale matematiske principper. Fold og Klip Sætningen er mere end blot et underholdende trick; det er et konkret bevis for den bemærkelsesværdige kraft og skjulte kompleksitet, der findes inden for geometri.

For yderligere udforskning af dette spændende emne henvises til online ressourcer, herunder videoer fra Numberphile og bidrag fra matematikeren Erik Demaine, der har ydet betydelige bidrag til forskningen i dette teorem.

Så næste gang I har et stykke papir og en saks, husk Fold og Klip Sætningen og den forbløffende matematik, der ligger latent i den simple handling at folde og klippe!

 

Løse en 3. grads-ligning.